Puntos principales del tema Proporcionalidad y porcentajes" (Proportzionaltasuna eta ehunekoak)

A partir de este tema he decidido adelantar las orientaciones ya que, en la ocasión anterior, me di cuenta de que las publiqué demasiado cercanas al examen. Adelantándolas ahora pretendo que los que estén verdaderamente interesados tengan tiempo de saber “por dónde van a ir los tiros” antes incluso de que lo hayamos dado.

Estos son los puntos esenciales:

• Saber que una razón (arrazoia) es la comparación entre dos números y que se representa mediante una fracción.
• Saber que dos razones iguales forman una proporción (proportzioa).
• Saber que a las razones y a las proporciones se les puede aplicar las mismas leyes que a las fracciones: construir equivalentes, simplificarlas, averiguar el término que falta en dos fracciones iguales, etc.
• Saber distinguir cuándo una pareja de magnitudes son proporcionales y, en caso de serlo, si forman una proporcionalidad directa (proportzionaltasun zuzena) o inversa (alderantzizko proportzionaltasuna).
• Saber construir una tabla con valores de dos magnitudes directamente proporcionales (proportzionaltasun zuzeneko taula).
• Averiguar la constante de proporcionalidad (proportzionaltasun-konstantea).
• Reconocer que ésta sólo existe en las proporcionalidades directas.
• Saber resolver problemas de proporcionalidad directa mediante:

- La propia tabla.
- Averiguando lo que le toca a la unidad (unitatera laburtzeko sistema), o sea, multiplicando por la constante.
- Formando una proporción.
- formando una regla de tres (hiruko erregela).

• Saber resolver problemas de proporcionalidad inversa (alderantzizko proportzionaltasun buruketak) mediante:

- La construcción de la tabla correspondiente.
- Construyendo una proporción pero utilizando la inversa (alderantzizkoa) de una de las dos razones.
- Mediante una regla de tres inversa (alderantzizko hiruko erregela).

• Reconocer cuándo en un problema intervienen más de dos magnitudes y, por tanto, es de proporcionalidad compuesta (proportzionaltasun konposatua).
• Saber formar parejas de proporciones con la que contiene la pregunta y averiguar si dicha proporcionalidad es directa (zuzena) o inversa (alderantzizkoa).
• Saber escribir los datos de una proporcionalidad compuesta mediante un esquema fijo que estudiaremos.
• Saber construir la razón correspondiente (directa o inversa) a cada pareja de valores de cada una de las magnitudes que intervienen en el problema.
• Escribir las razones que acabamos de mencionar multiplicando entre sí e igualadas a la que contiene la pregunta.
• Entender el porcentaje (ehunekoa) como una proporcionalidad directa en la cual expresamos siempre lo que le tocaría a 100.
• aprender la fórmula para el cálculo directo de porcentajes:

• Saber traducir el porcentaje a fracción y a número decimal.
• Saber usar los dos anteriores para calcular también los porcentajes directos (sobre todo los que se pueden hacer de memoria).
• Saber calcular de memoria ciertos porcentajes “famosos”:100 % – 50 % – 25 % – 20 % – 10 %.
• Saber comprender y resolver problemas sobre porcentajes en sus diferentes modalidades:

- Problemas simples directos en los que sólo hay que calcular la cantidad del porcentaje. Saber también si ese porcentaje hay que añadirlo o quitarlo de la cantidad inicial.

- Calcular la cantidad total cuando nos dan el porcentaje y la cantidad que supone ésta. Construir para ello una proporción directa (proportzio zuzena) o una regla de tres (hiruko erregela).
- Calcular el tanto por ciento (ehunekoa) cuando nos dan el total y la parte mediante los dos métodos mencionados antes.
- [Los más difíciles] Calcular la cantidad inicial (hasierako kantitatea) cuando nos ofrecen el porcentaje y la cantidad ya aumentada o disminuida (amaierako kantitatea).

• Saber calcular el interés simple que produce una cantidad de dinero (bankuko interesa).

Espero que esta guía os sea de utilidad. En fechas próximas publicaré, como en la ocasión anterior, una colección de ejercicios y problemas resueltos.

Ejercicios de Fracciones

Como prometí, aquí publico los enlaces a los ejercicios que comenté en el artículo pasado.
Por un lado van los ejercicios solos (que intenten hacerlos sin mirar las soluciones) y por otro las soluciones.
Espero que os sean de utilidad.

ORIENTACIONES para el EXAMEN del MARTES 9

Hace tiempo que no escribo aquí, aunque sí he añadido alguna novedad este curso. Concretamente, no sé si alguien se habrá dado cuenta de que hay una nueva sección en la banda de la derecha: “Publikatutako nire materiala – Mi material publicado”. En ella he empezado a poner los diferentes links (enlaces) a los materiales que de vez en cuando suelo colgar aquí. De ese modo, si alguna vez alguien quiere buscar algo que sabe que publiqué un día, no tiene que andar mirando entre los artículos del blog hasta encontrarlo. De ahora en adelante, ahí van a estar todos juntos.

Pero el artículo de hoy es para que conozcáis cuales son los puntos esenciales que tienen que preparar de cara al examen del martes.

Conceptos básicos repaso de 1º:

• Qué quiere decir la fracción (zatikia) y cómo se expresa en forma de fracción el TODO.
• Cómo se convierte una fracción en decimal y viceversa, cómo se escribe un decimal en forma de fracción.
• Cómo se “fabrican” fracciones equivalentes (zatiki baliokideak), tanto más grandes como más pequeñas.
• Qué significa simplificar (laburtu) una fracción y cómo se hace.

Operaciones con las fracciones:

• Poner el mismo denominador a las fracciones (izendatzaile komuna jarri).
• Emplear lo anterior para ordenarlas de menor a mayor.
• Realizar sumas y restas de fracciones poniéndoles antes el denominador común (izendatzaile komuna).
• Aprender las reglas de la multiplicación y de la división de fracciones y NO CONFUNDIRLAS. Tener en cuente, además, que en estas operaciones NO hay que poner común denominador, sino que utilizaremos los números que hay.
• Recordar que el resultado final se simplifica siempre que se pueda.
• Saber que, cuando en la cuenta aparece un número entero, lo trataremos como si fuera una fracción pero imaginando que tiene una raya y debajo de ella un uno.
• Al multiplicarlo, sin embargo, aplicaremos una regla más sencilla: el entero se “monta” arriba multiplicando y listo.
• Podemos juntar muchas cuentas en una misma expresión matemática en lo que se denomina operaciones combinadas (eragiketa nahasiak). En este caso es IMPORTANTÍSIMO respetar la prioridad de operaciones (eragiketen lehentasuna) la cual consiste en: PARÉNTESIS –> MULTIPLICACIONES Y DIVISIONES –> SUMAS Y RESTAS. Además, el trozo de la expresión que no se hace en cada paso, se copia.

Problemas de fracciones:

En el libro vienen hasta 12 problemas para tomar como modelo, pero, fundamentalmente, pueden agruparse en varias “familias”. Sin embargo, además de ver estos modelos, yo en particular, he insistido mucho en un par de conceptos muy básicos pero muy necesarios y que no dominaban lo suficiente:

• Que se fijen especialmente en la pregunta y vean si se refiere al TODO o a una PARTE.
• Y ¿cómo le piden ese dato? ¿Como fracción (zatikia) o como cantidad?

Las diferentes familias de problemas serían:

1. Los que el libro llama “Problema zuzena”. Fundamentalmente los vienen haciendo desde 6º de Primaria y consisten en averiguar una fracción del total. Para ello multiplicarán el total por la fracción y listo (eso sí, tienen que fijarse cuál es el trozo que nos piden porque como mínimo hay dos).
2. Nos dicen el todo y la parte (expresados como cantidades) y nos piden ¿qué fracción es eso? Pues también muy sencillo: raya de fracción y arriba la parte y abajo el todo.
3. Nos dicen el trozo en forma de fracción y ese mismo trozo como cantidad (p. ej. 3/5 son 6 kg.) y nos piden el total. Como el total siempre se escribe igual en forma de fracción (mismo número arriba y abajo), lo más importante es averiguar cuánto es un trozo solo. Después ya sólo nos queda multiplicar por el número de trozos que tiene ese total (en nuestro ejemplo, 6:3 = 2 kg tiene UN trozo; el total tiene 2·5=10)
4. Luego hay varias clases de problemas pero todos se caracterizan porque siempre se habla de varios trozos (más de dos). La pregunta puede ser variada pero en todos hay que sumar los trozos que nos dan para averiguar cuál es el trozo que no sabemos. Una vez hecho esto, las preguntas son similares a los modelos anteriores: ¿cuánto es la parte o cuánto es el todo?
5. Estos son los más difíciles para el alumnado: aquellos en los que se menciona una parte de un trozo (zatikiaren zatikia). Aquí lo fundamental es darse cuenta de que NO podemos usar ese dato tal y como nos lo dan, sino que antes tenemos que “traducirlo” (p. ej. 2/5 de 1/2). Hacer eso es muy fácil, sólo hay que multiplicar las dos fracciones de que nos hablan. En nuestro ejemplo:          2/5 de 1/2 –> El dato que vale es este último (1/5) y ya luego haremos como en los ejemplos anteriores: sumar los trozos; ver lo que falta para el todo; averiguar cuánto vale un trozo solo; etc. Naturalmente dentro de esta familia también hay varios modelos:

- Sólo nos piden el trozo que queda (zatikia)

- Nos piden CUÁNTO es el trozo que queda (kantitatea).

- Nos dan varios trozos y la cantidad que es el trozo final y nos preguntan el TODO.

Finalmente sólo deciros que el lunes publicaré una hoja con ejemplos resueltos de todas las clases de ejercicios y problemas.